下面我用几何法和向量法两种方法解

法向量怎么求_曲面的单位法向量怎么求

法向量怎么求_曲面的单位法向量怎么求

几何法：过E点作EF⊥AD交AD于F，再作FG⊥AC交AB于G，然后过G作GH平行且等于EF，连接EH，则四边形EFGH是矩形。。。因为FG⊥PA，FG⊥AC。所以EH⊥AC。EH⊥AP。所以EH⊥面PAC，则H就是要求的那个点（即N）。因为AP=2,所以EF=1，所以HG=1。所以H到AB

的距离是1。因为∠BAC=30°，所以∠AFG=30°。因为AF=1/2所以AG=√3/6。所以H到AP的距离是√3/6

向量法:以A为坐标原点（下面的矩形ABCD哦用的顺时针）。AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴建系。因为N在面PAB内，所以设其坐标为（X,0,Z）

P(0,0,2)

A(0,0,0,)

C（√3，1，0）

E（0，1/2,1)

向量AP=（0，0，2）向量AC=（√3，1，0）向量EH=（X,-1/2,Z-1)..因为向量EHAP=0

EHAC=0。。能够得到X=√3/6,Z=1..所以。。。跟上面一样

你是不是得出法向量中y=0.z=0,而x不管取什么数，都成立

很明显，法向量不可能是零向量(0,0,0)

所以取x=k，k为任意非零常数

又（k,0,0）=k(1,0,0)

所以一般直接取x=1

所以法向量为（1,0,0）

也就是说，法向量与x轴平行

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

例如已知三个点求那个平面的法向量：

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3个点

A,B,C可以形成3个向量,向量AB,向量AC和向量BC

则AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)

设平面的法向量坐标是（x,y,z）

有(x2-x1)x+(y2-y1)y+(z2-z1)z=0 且(x3-x1)x+(y3-y1)y+(z3-z1)z=0 且(x3-x2)x+(y3-y2)y+(z3-z2)z=0

可以解得x,y,z。

扩展资料三维平面的法线是垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面（tangent plane）的向量。

法线是与多边形（polygon）的曲面垂直的理论线，一个平面（plane）存在无限个法向量（normal vector）。在电脑图学（comr graphics）的领域里，法线决定着曲面与光源（light source）的浓淡处理（Flat Shading），对于每个点光源位置，其亮度取决于曲面法线的方向。

如果一个非零向量n与平面a垂直，则称向量n为平面a的法向量。

垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=0

5、解方程组，取其中一组解即可。

例如已知三个点求那个平面的法向量：

设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)是已知平面上的3个点

A,B,C可以形成3个向量,向量AB,向量AC和向量BC

则AB（x2-x1,y2-y1,z2-z1）,AC(x3-x1,y3-y1,z3-z1),BC(x3-x2,y3-y2,z3-z2)

设平面的法向量坐标是（x,y,z）

有(x2-x1)x+(y2-y1)y+(z2-z1)z=0 且(x3-x1)x+(y3-y1)y+(z3-z1)z=0 且(x3-x2)x+(y3-y2)y+(z3-z2)z=0

可以解得x,y,z。

1.在平面内找两个不共线的向量

2.待求的法向量与这两个向量各做数量积为零就可以确定出法向量了。

3.为方便运算，提取公因数，若其中含有未知量x，为x代值即可得到一个最简单的法向量

平面Ax+By+Cz+d=0的法向量为（A，B，C）

如果方程不已知可利用平面上的两个向量与法向量n的标量乘法=0

解方程就得到了

如何求平面的法向量

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程组，取其中一组解即可。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

扩展资料：

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。

利用这个原理也可以求异面直线的距离。

参考资料来源：

从理论上说，空间零向量是任何平面的法向量，但是由于零向量不能表示平面的信息。一般不选择零向量为平面的法向量。

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）

1、建立恰当的直角坐标系

2、设平面法向量n=（x，y，z）

3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）

4、根据法向量的定义建立方程组：

①n·a=0；

②n·b=0。

5、解方程组，取其中一组解即可。

如果曲面在某点没有切平面，那么在该点就没有法线。

例如，圆锥的顶点以及底面的边线处都没有法线，但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

扩展资料：

法向量的主要应用如下：

1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

3、点到面的距离： 任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；

如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|（等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量）。

利用这个原理也可以求异面直线的距离。

参考资料来源：百度百科-矢量运算

法向量是有无数个，但每个法向量都垂直于平面，且互相平行；如果限定为从原点出发的单位法向量，那就只剩一个了。

题中上直线L的向量(5,2,10)，平面π的一个法向量：(4,0,-2)，因两向量不成比例，故直线不予平面垂直，但两向量的点乘积等于0，说明两向量垂直，即直线L平行于平面π；